是否存在常数k和等差数列{an},使得k·(an)^2 -1=S(2n）-S(n+1)?

是蛮难的额，我用待定系数法做
∵数列{an}是等差数列
∴设Sn=An^2+Bn,则an=2An+(B-A)
∴得到k[2An+(B-A)]^2-1=A(2n)^2+B(2n)-A(n+1)^2-B(n+1)
整理得4kA^2·n^2+4kA(B-A)n+k(B-A)^2-1=3A^2·n^2+(B-2A)n-(A+B)
∴得4kA^2=3A^2
4kA(B-A)=B-2A
k(B-A)^2-1=-(A+B)
∴解得k=3/4
3A(B-A)=B-2A ①
(3/4)·(B-A)^2-1=-(A+B)②
接下来只要根据①、②两式解出A和B就可以验证k是否存在了

k·(an)^2 -1=S(2n）-S(n+1)

等差数列{an}首项为a,公差为d
S(2n）-S(n+1)=2na+2n(2n-1)d/2-(n+1)a-n(n+1)d/2
=(n-1)a+3n(n-1)d/2
k·(an)^2 -1=k(a+(n-1)d)^2-1

这题还真够难

当n=1
ka1^2-1=s2-s2=0
a1^2=1/k
当n=0
ka0^2-1=s0-s1=a0-a1=-d
a0^2=(1-d)/k
a1^2-a0^2=(a1-a0)(a1+a0)=d(2a0+d)=1/k-(1-d)/k=d/k

联立方程
a0^2=(1-d)/k
d(2a0+d)=d/k
d1=(-1+2√k)/(3k),d2=(-1-2√k)/(3k),
a0=.....

不妨假设k=4
d=3/12
a0=√3/4

所以存在